Tuvalet Kağıdı Stoklamak

GenelKombinatorikTuvalet Kağıdı

COVID-19 virüsünün bütün dünyaya yayılmasından kısa bir süre sonra
bazı yerlerindeki marketlerde tuvalet kağıdı kalmadığını haberlerde dinledik.
Bu kısa nottaki amacımız, belirli koşullar altında evde bulunabilecek
en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısını belirlemek.
Tabii ki ihtimal dahilinde bulunmasını kastediyoruz,
izin dahilinde değil!

Problemin çözümünü çok dallandırıp budaklandırmamak adına bazı kabuller yapacağız.
Diyelim ki 4 günde bir tuvalet kağıdı rulosu değiştirmeniz gerekiyor,
14 günde bir alışverişe gidiyorsunuz
ve yalnızca ihtiyacınızı karşılayacak kadar
8’li rulolar halinde tuvalet kağıdı alıyorsunuz.
Başka boy satılmıyor.

Örneğin, alışverişe gideceğiniz gün tuvalet kağıdınız bitti,
ve 8’li rulolardan bir tane aldınız.
Alışverişiniz sonrasında dördüncü, sekizinci ve on ikinci günlerde
birer rulo tuvalet kağıdını bitirdiniz ve
bir sonraki alışverişinizde evde hala beş rulo tuvalet kağıdı var.
Birisi yarım, ama olsun.
Görüldüğü gibi, 8’li rulolardan iki tane almamız gerekmiyordu,
çünkü on dört gün içinde 8’li ruloyu bitirmenize imkan yok.

Bu seferki alışverişinizde tuvalet kağıdı almadınız,
ve bu alışverişinizi takip eden ikinci, altıncı, onuncu ve on dördüncü
günlerde birer tuvalet kağıdı bitirdiniz.
Üçüncü sefer alışverişe gideceğiniz gün evde yalnızca bir tam tuvalet kağıdı rulosu var.
Dolayısıyla, üçüncü seferki alışverişinizde 8’li rulolardan bir adet almanız gerekiyor.

Bu örneği birkaç alışveriş sonrasında da devam ettirdiğimizde
evdeki tuvalet kağıdı rulosu 3 veya daha az sayıda olduğunda 8’li rulolardan bir adet almamız
gerektiği, dolayısıyla herhangi bir anda evdeki tuvalet kağıdı rulosu sayısının
en fazla 11 olacağını hesaplarız. Aynı örnekte eğer tuvalet kağıdı rulolarını alşverişler sonrası dördüncü veya ikinci gün yerine
birinci veya üçüncü günde değiştiriyor olsaydınız herhangi bir anda
evdeki tuvalet kağıdı rulo sayısının en fazla 12 olduğunu görecektik.

Olası bütün durumları incelediğimiz için $k = 4$ günde bir tuvalet kağıdı bitirdiğiniz,
$n = 14$ günde bir alışverişe gidip $m = 8$’li rulolardan gerektiği kadar aldığınız durumda
evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısı 12.

Basitleştirici bir yaklaşımla, evdeki tuvalet kağıdı rulosu sayısının
bir gerçel sayı olduğunu düşünelim. Oran orantı ile
$k$ günde bir tuvalet kağıdı bitiyorsa bir günde $\frac{1}{k}$,
dolayısıyla $n$ günde $\frac{n}{k}$ tuvalet kağıdı biter.
Görürüz ki, alışverişe gideceğimiz andaki tuvalet kağıdı sayısı $\frac{n}{k}$’dan küçük ise,
o alışverişte $m$’li tuvalet kağıtlarından almamız gerekecek(*),
dolayısıyla evdeki tuvalet kağıdı sayısı en fazla $m + \frac{n}{k}$ olacak.
Yukarıdaki örneğimizde $8 + \frac{14}{4} = 11,5$.

Elbette ki tuvalet kağıdı rulosu sayısından tamsayı olarak bahsetmek
daha doğal olduğu için $11.5$ rulo yerine 12,
yani $11,5$’a eşit veya ondan büyük
tamsayıların en küçüğü olan $\lceil 11,5 \rceil = 12$ deriz.
Dolayısıyla problemimizin çözümü
\[
\left\lceil m + \frac{n}{k} \right\rceil = m + \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil
\]
olur.

Yukarıda (*) işaretli cümlede aslında ilk örneğimizde ima edildiği şekilde,
$m$’li tuvalet kağıdı rulolarından yalnızca bir tane alacağınızı
ya da hiç almayacağınızı varsaydık.
İlk örneğimizi biraz değiştirelim.
Diyelim ki hala $k = 4$ günde bir tuvalet kağıdı rulosu bitiriyorsunuz,
tuvalet kağıtları hala $m = 8$’li rulolar halinde satılıyor,
fakat alışverişe $n = 140$ günde bir gidebileceksiniz.

Antarktika gibi uzak bir yerde saha araştırma laboratuvarında
çalışıyor olabilirsiniz,
vereceğiniz listeye göre birileri size 140 günde bir kocaman bir koli bırakıp gidiyordur.
Veya önümüzdeki 140 gün boyunca alışveriş ettiğiniz yerlerde tuvalet kağıdı
bulamayacağınızı düşündünüz.
Öyle ya da böyle bir motivasyonla, örneğimizdeki $n$ parametresi çok büyüdü.
Fakat hala
öngördüğünüz ihtiyacınızdan fazla tuvalet kağıdı bulundurmadığınızı
varsayıyoruz.

Yukarıdaki çözüm şablonumuz ile devam edersek,
140 günde $\frac{140}{4} = 35$ rulo tuvalet kağıdı kullanacaksınız.
Böylece, tuvalet kağıdı sayısı 35’in altına düştüğünde
($34,99$ gibi) 8’li rulolardan
alarak rulo sayısının 35 veya daha fazla sayıda olmasını sağlamanız lazım.
Güncellenmiş örneğimizde evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısı
$\lceil 34,99 + 8 \rceil = 43$.

Genel halde, $n$inci gün alışverişe gitmeden hemen önce evde kalan
tuvalet kağıdı rulosu sayısı $r$
\begin{align}
\label{kalanTK}
0 \leq r < \frac{n}{k} \qquad \mbox{(1)}
\end{align}
eşitsizliklerini sağlıyorsa,
$m$’li tuvalet kağıdı rulolarından
\begin{align}
r + (l-1)m < \frac{n}{k} \leq r + lm \qquad \mbox{(2)}
\end{align}
eşitsizliklerini sağlayan $l$ sayısı kadar almanız gerekir.

Aslında (1) eşitsizliğinde $\frac{n}{k}$ yerine
$m$ ve $\frac{n}{k}$ sayılarının küçüğü olan
$\mathrm{min}\left\{ m, \frac{n}{k} \right\}$ sayısını yazmalıyız.
Yukarıda bahsettiğimiz gibi tuvalet kağıdı alma ihtiyacı için $r < \frac{n}{k}$ olmalı,
öte yandan $r < m$ eşitsizliği sağlanmıyorsa bir önceki alışverişte
tuvalet kağıdını gerektiğinden fazla aldığımız anlamına gelir.
İlk örneğimizde $\frac{n}{k} = 3,5 < 8 = m$ olduğu için bunu açıkça görmemiştik.

Fakat problemin asıl çözümü (2) eşitsizliklerinde gizli.
$m$’li tuvalet kağıdı rulolarından $l$ tane alacağız;
ve bir tane eksik, yani $l-1$ tane alırsak ihtiyacımız karşılanmayacak.
Eşitsizliğin en sağı ve en solu arasındaki fark $m$ olduğundan,
evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulo sayısını yine
\[
\left\lceil m + \frac{n}{k} \right\rceil = m + \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil
\]
buluruz. Yani gözardı ettiğimiz kabul ilk bulduğumuz çözümü değiştirmiyor.

Tabii ki, ilginç bir yan soru olan “Çoklu tuvalet kağıdı rulolarından
kaç tane almalıyız?” sorusunu da cevaplamış olduk böylece.
(2) eşitsizliğini birkaç aritmetik işlem sonrasında
\[
(l-1) < \frac{\frac{n}{k} – r}{m} \leq l
\]
haline getirirsek, $l$’nin $$\frac{\frac{n}{k} – r}{m}$$ sayısına eşit veya ondan büyük
tamsayılardan en küçüğü, yani
\[
l = \left\lceil \frac{\frac{n}{k} – r}{m} \right\rceil
\]
olduğunu buluruz.
Bu da, $m > \frac{n}{k}$ durumunda $l$’nin alabileceği değerlerin
yalnızca 0 ve 1 olduğunu gösterir.
Yani, aldığımız $m$’li tuvalet kağıdının tümünü bir sonraki alışverişe kadar
bitirmiyorsak (normal zamanda),
bazı alışverişlerde $m$’li tuvalet kağıtlarından
yalnızca bir tane almamız yeterli olur.

Yukarıdaki basit modeli [1]’deki gibi olasılık dağılımları bağlamında inceleyerek,
tuvalet kağıdı satışlarının çok fazla arttığı dönemlerde
insanların en az ne kadar süre alışverişe gidemeyeceklerini,
veya tuvalet kağıdı bulamayacaklarını,
düşündükleri hakkında fikir yürütmek mümkündür.

Kaynakça:

  1. Knuth, Donald E. “The toilet paper problem.”
    The American Mathematical Monthly,  91(8) 465–470, 1984.
Bu yazıyı paylaşarak daha fazla kişiye ulaşmasını sağlayın: