Boncuklu Yeşil, Kraliyetin Tuvalet Kağıtları ve Sonsuz Karolar

Covid-19, ya da ev ahalisinin televizyon görselleri yüzünden kendisine taktığı adla “boncuklu yeşil” hayatımıza girdi gireli en temel içgüdümüz olan hayatta kalma içgüdüsünün yanında modern çağa taşırken saçmaladığımız bir avcı-toplayıcı özelliğimiz daha olduğunu farkettik: tuvalet kağıdı stoklama. Durumun saçmalığı üzerine ilk şoku atlattıktan sonra madem üzerine bu kadar konuşuldu biz de bildiğimiz yerden konunun ucundan tutalım diyerek sizlere matematiksel bir tuvalet kağıdı hikayesi anlatmak istiyorum.

Hikayenin kahramanı Oxford Üniversitesi Rouse Ball matematik profesörü ve matematiksel fizikçi Roger Penrose, kendisi 1988’de fizikte Wolf ödülünü Stephen W. Hawking ile paylaşmış ve 1994 yılında da Kraliyet Şövalye Nişanı almış bir bilim insanı. Penrose 1970’lerde yazının devamında detaylarını anlatacağım periyodik olmayan, yarı-düzenli sonsuz desenlerin yaratıcısı, bu tip desenler birçok oyun objesi için ticari amaçlı da kullanılabileceğinden Penrose bunları Pentaplex LTD şirketi aracılığıyla da patentlemiş durumda. Yazıya mevzubahis olay da zaten bunun üzerine çıkıyor, Kimberly-Clark şirketinin Kleenex marka tuvalet kağıdında Penrose desenlerinin kullanılması üzerine şirket Penrose ile mahkemelik oluyor. Mirsky’nin 1997 tarihli, “Kralın Yeni Tuvalet Kağıdı” [The Emperor’s New Toilet Paper¹] adlı Scientific American makalesinde de bahsettiği gibi büyük balığın küçük balığı yemesi iş dünyasında çok olağan bir durum ancak küçük balık “Kraliyet Şövalyesi” olunca otomatik olarak taraflardan biri İngiliz Kraliyet’ini karşısına almış oluyor. Peki bütün bu karmaşaya yol açan desenler nedir, ne değildir de bu kadar önemlidir?

Yazının başında da belirttiğim gibi Penrose desenleri periyodik olmayan bir karolama biçimi ancak bunun ne demek olduğunu anlayabilmek için öncelikle periyodik karolama nedir ondan bahsedelim. Bir periyodik karolamada siz verilen bir düzlemi sınırları belli bir deseni kullanarak sadece ötelemeler yoluyla (döndürmeler ve yansıtmalar olmadan) karoluyorsunuz. Sonsuz sayıda desen (örneğin kare, düzgün altıgen vs) düzlemi sadece periyodik olarak karoluyor yine sonsuz sayıda desen de hem periyodik hem de periyodik olmayan şekilde ancak çok uzun bir süre yanıtı verilememiş bir sorumuz daha var: düzlemi sadece periyodik olmayan şekilde karolayan bir desen kümesi var mıdır? Sorunun cevabını 1964 yılında Robert Berger Harvard Üniversitesi’ndeki doktora tezinde veriyor, evet böyle bir desen kümesi var ancak Berger’in oluşturduğu küme 20000’den fazla domino taşının kullanılmasını gerektiriyor. Peki çok daha küçük bir kümeyle periyodik olmayan karolama yapılamaz mı? sorusunun cevabını ise hikayemizin kahramanı Roger Penrose veriyor. İlk Penrose deseni (P1) sadece 6 farklı karo ile bunun yapılabileceğini gösteriyor, hatta daha sonra bunun sadece 2 karo ile de yapılabileceğini ispatlıyor.