Boncuklu Yeşil, Kraliyetin Tuvalet Kağıtları ve Sonsuz Karolar

ÇizgelerGenelKombinatorikTuvalet Kağıdı

Covid-19, ya da ev ahalisinin televizyon görselleri yüzünden kendisine taktığı adla “boncuklu yeşil” hayatımıza girdi gireli en temel içgüdümüz olan hayatta kalma içgüdüsünün yanında modern çağa taşırken saçmaladığımız bir avcı-toplayıcı özelliğimiz daha olduğunu farkettik: tuvalet kağıdı stoklama. Durumun saçmalığı üzerine ilk şoku atlattıktan sonra madem üzerine bu kadar konuşuldu biz de bildiğimiz yerden konunun ucundan tutalım diyerek sizlere matematiksel bir tuvalet kağıdı hikayesi anlatmak istiyorum.

Hikayenin kahramanı Oxford Üniversitesi Rouse Ball matematik profesörü ve matematiksel fizikçi Roger Penrose, kendisi 1988’de fizikte Wolf ödülünü Stephen W. Hawking ile paylaşmış ve 1994 yılında da Kraliyet Şövalye Nişanı almış bir bilim insanı. Penrose 1970’lerde yazının devamında detaylarını anlatacağım periyodik olmayan, yarı-düzenli sonsuz desenlerin yaratıcısı, bu tip desenler birçok oyun objesi için ticari amaçlı da kullanılabileceğinden Penrose bunları Pentaplex LTD şirketi aracılığıyla da patentlemiş durumda. Yazıya mevzubahis olay da zaten bunun üzerine çıkıyor, Kimberly-Clark şirketinin Kleenex marka tuvalet kağıdında Penrose desenlerinin kullanılması üzerine şirket Penrose ile mahkemelik oluyor. Mirsky’nin 1997 tarihli, “Kralın Yeni Tuvalet Kağıdı” [The Emperor’s New Toilet Paper1] adlı Scientific American makalesinde de bahsettiği gibi büyük balığın küçük balığı yemesi iş dünyasında çok olağan bir durum ancak küçük balık “Kraliyet Şövalyesi” olunca otomatik olarak taraflardan biri İngiliz Kraliyet’ini karşısına almış oluyor. Peki bütün bu karmaşaya yol açan desenler nedir, ne değildir de bu kadar önemlidir?

Yazının başında da belirttiğim gibi Penrose desenleri periyodik olmayan bir karolama biçimi ancak bunun ne demek olduğunu anlayabilmek için öncelikle periyodik karolama nedir ondan bahsedelim. Bir periyodik karolamada siz verilen bir düzlemi sınırları belli bir deseni kullanarak sadece ötelemeler yoluyla (döndürmeler ve yansıtmalar olmadan) karoluyorsunuz. Sonsuz sayıda desen (örneğin kare, düzgün altıgen vs) düzlemi sadece periyodik olarak karoluyor yine sonsuz sayıda desen de hem periyodik hem de periyodik olmayan şekilde ancak çok uzun bir süre yanıtı verilememiş bir sorumuz daha var: düzlemi sadece periyodik olmayan şekilde karolayan bir desen kümesi var mıdır? Sorunun cevabını 1964 yılında Robert Berger Harvard Üniversitesi’ndeki doktora tezinde veriyor, evet böyle bir desen kümesi var ancak Berger’in oluşturduğu küme 20000’den fazla domino taşının kullanılmasını gerektiriyor. Peki çok daha küçük bir kümeyle periyodik olmayan karolama yapılamaz mı? sorusunun cevabını ise hikayemizin kahramanı Roger Penrose veriyor. İlk Penrose deseni (P1) sadece 6 farklı karo ile bunun yapılabileceğini gösteriyor, hatta daha sonra bunun sadece 2 karo ile de yapılabileceğini ispatlıyor.

Şekil 1: P1

Farklı birçok Penrose deseni var ancak bunlardan en dikkat çekenlerinden biri Penrose desenleri üzerine birçok çalışma yapmış ve maalesef bu yıl aramızdan ayrılmış olan değerli matematikçi John Horton Conway’in “uçurtmalar” ve “dart okları” olarak adlandırdığı desenler.

Periyodik olmayı bozmak adına içine farklı renklerde yaylar çizilmiş ve yaylarının renkleri birbiriyle uyumlu olan parçaların yan yana gelmesine izin veren bu desen sadece 2 karo kullanarak periyodik olmayan sonsuz karolama yapma olanağı sunuyor. Gerçekten sonsuz mu? dediğinizi duyar gibiyim, evet hem de sayılamaz sonsuz. İspat Penrose’un Conway tarafından “şişirme” ve “havasını alma” olarak adlandırdığı bir fikre dayanıyor. Şişirme dediğimiz prosedürde her bir dart ucu ikiye ayrılıp sonra tüm parçalar kısa kenarlarından birleştiriliyor, böylece daha büyük dart uçlarından ve uçurtmalardan oluşan 2. jenerasyon yeni bir karolama yapılıyor. Havasını alma prosedürü ise bunun tam tersi bir mantığa sahip, her bir Penrose karosu daha küçük dart uçlarına ve uçurtmalara bölünerek her seferinde daha küçük parçaların eklenmesiyle oluşmuş bir fraktal yaratılıyor.

Şekil 2: Şişirme

Conway’in ispatı da şu şekilde devam ediyor: simetri eksenine göre her bir uçurtmanın sağ tarafını R, sol tarafını L ile işaretlediğimizi; aynı şeyi dart uçları için de r ve $\ell$ ile yaptığımızı varsayalım. Karodan rastgele bir nokta seçip pozisyonunu harflerle işaretleyelim ve şişirme metodu ile deseni bir adım büyütelim, şimdi orijinal noktanın yerini bu ikinci jenerasyon karolarda tekrar harflerle belirtelim. Bu şekilde devam ederek orijinal desenin seçilen nokta üzerinden anlatıldığı bir harf dizisi elde ederiz. Başka bir noktayı alıp bu sefer de bu noktayı referans alan bir dizi yazalım, elbette yeni dizimiz belli bir noktadan sonra sonsuza kadar ilk dizi ile aynı olabilir ancak hiçbir nokta için böyle bir denk gelme gerçekleşmiyorsa dizilerimiz farklı desenlere karşılık geliyor demektir. Farklı desenler veren böyle dizilerin ise gerçel bir doğrudaki her nokta ile eşleştirilebildiği yani desenlerin sayılamaz sonsuzlukta olduğu gösterilebilir.

Evet son olarak buraya kadar sabırla okuyanların aklındaki soruyu da cevaplayarak kapatayım : Davanın sonucu ne oldu? Tüm süreci bir bilim insanı açıklığıyla yürüten Penrose her açıklamasında aslında kendisinden izin alınmış olsa bütün bu karmaşanın hiç bu boyutlara gelmeden hallolabileceğini belirtiyor, ayrıca yasal süreç de yine Penrose lehine sonuçlanıyor.

Kaynaklar:

  1. Gardner M. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, The Mathematical Association of America, Washington DC, (1989).
  2. Mirsky S. The Emperor’s New Toilet Paper, Scientific American, DOI:10.1038/scientificamerican0797-24, (1997).
  3. Penrose Tiles: https://en.wikipedia.org/wiki/Penrosetiling 

Yazar(lar) hakkında:

Sibel Şahin, Boğaziçi Üniversitesi’nden Matematik (2008) lisans derecesini aldıktan sonra Sabancı Üniversitesi Matematik Programı’nda (2014) çok değişkenli kompleks analiz alanında doktorasını tamamlamıştır. 2015-2016 yıllarında doktora sonrası araştırmacı olarak Institut de Mathematiques de Toulouse (France)’ta bulunan Sibel Şahin 2017 yılından bu yana Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Matematik Bölümü’nde öğretim üyesidir.

  1. Mirsky burada Penrose’un ünlü kitabı The Emperor’s New Mind’a (Kralın Yeni Aklı) gönderme yapıyor
Bu yazıyı paylaşarak daha fazla kişiye ulaşmasını sağlayın: